가상일의 원리(2)

안녕하세요. Dr. Limnice 입니다.

지난 포스팅에 이어 오늘은 D ’Alembert’s principle을 보다 일반화한 Hamilton’s principle과 이를 보다 효율적으로 개선한 Lagrange’s equation에 대해 이야기 해 보도록 하겠습니다.

3. Hamilton’s principle

Hamilton’s principle 은 D ’Alembert’s principle을 일반화한 것으로 가장 가상일의 원리를 기반으로 한 방법들 중 가장 유용한 방법으로 알려져 있습니다. 우선, 지난 포스팅의 D ’Alembert’s principle를 다시 쓰면,

먼저, 첫번째 항은 가해진 힘에 의한 가상일이며, 전체 시스템의 가상일은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서, 두번째 항에 대해 다음과 같은 관계를 생각해 볼 수 있습니다.

여기서 T_i 는 입자 m_i 의 운동에너지 입니다. 위의 식을 D ’Alembert’s principle의 두번째 항에 대해 정리한 다음, 시간 t₁ 에서 t₂ 까지의 적분을 고려하면 다음과 같습니다.

여기서 중요한 것은 앞서 가상일의 원리에서 가상변위 (Virtual displacement)는 임의적 (Arbitrary)이므로 δr_i 가 시간 t₁ 와 t₂ 에서 모두 0이라 해도 무방합니다. 따라서 위의 식을 좀더 정리하고, 고려중인 시스템의 모든 입자들의 가상일을 합하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서, T 는 시스템 전체의 운동에너지 입니다. 마지막으로 위의 식을 가장 첫번째 식 (D ’Alembert’s principle)과 두번째 식(가해진 힘에 의한 가상일)에 합하고, 시간 t₁ 에서 t₂ 까지 적분을 고려하면, 최종적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 식은 Hamilton’s principle을 수학적으로 표현한 것이며, 해당 식은 모든 운동방정식에 적용이 가능합니다.

가상일의 원리를 적용할 때, 가상일을 보존력(Conservative force)과 비보존력(Nonconservative force)에 의한 일로 나누어 고려를 하는 것이 편리한 경우가 많습니다. 여기서, 보존력은 “어떤 힘이 작용하여 물체가 이동할 때 힘이 한 일이 물체의 이동경로와 관계가 없는” 경우이며 대표적인 예로는 중력이 있습니다. 중력이 한 일은 지면에서 물체의 높이와 관계만 있고, 물체가 그 높이까지 어떤 경로로 이동하는지는 관계가 없습니다. 비보존력은 “어떤 힘이 한 일이 물체의 이동경로와 관계가 있는” 경우이며 대표적으로 마찰력이 있습니다. 평면위에 놓어있는 물체를 같은 평면위의 A 지점에서 B 지점까지 끌고갈 때, 물체가 끌리는 동안 마찰력은 계속 작용하므로 이동거리가 길어질수록 마찰력에 의해 한 일은 커지게 됩니다.

따라서 가해진 힘에 의한 가상일을 보존력과 비보존력으로 나누면 다음과 같습니다.

여기서 아래첨자 'c '는 보존력, 'nc '는 비보존력을 나타냅니다. 또한 보존력이 한 일은 포텐셜에너지 (Potential energy) 로 정의할 수 있으며, V 로 표현되었습니다. 위 식을 Hamilton’s principle의 수식에 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

따라서 모든 운동방정식을 운동에너지 (Kinetic energy), 포텐셜에너지 (Potential energy), 그리고 비보존력에 의한 가상일 (Virtual work due to nonconservative forces)를 구하는 과정을 통해 얻을 수 있게 됩니다.

4. Lagrange’s equation

Hamilton’s principle이 운동방정식을 구하는데 매우 강력한 방법이기는 하지만, 운동방정식을 구하기 위해 적분 (엄밀하게는 부분적분)을 수행해야 하기 때문에 가장 효율적인 방법이라고 이야기 하기에는 힘든 면이 있습니다. 이러한 불편함을 해소하기 위해 Lagrange equation이 고안되었는데 간단히 말해 사실 이것은 일반화된 좌표계에 대해 Hamilton’s principle을 푼 결과를 바로 이용하는 방법으로 이해하면 좋을 거 같습니다. 좀더 자세히 이야기하자면 먼저, 일반화된 좌표계(q_k)에서 가상변위(δq_k)에 의한 전체 시스템의 운동에너지, 포텐셜 에너지, 비보존력이 한 일은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 식들을 Hamilton’s principle에 넣으면 다음과 같습니다.

두 번째 항에 대해 부분적분을 구하면 다음과 같으며 (Hamilton’s principle 에서는 이와 같은 부분적분을 매번 계산해 주어야 하기 때문에 효율적이지 못하다는 이야기),

다음과 같이 정리가 가능합니다.

여기서, 좌변의 식을 만족하기 위해서는 가상변위(δq_k) 또는 그 앞의 괄호안의 계수항이 0이 되어야 합니다. 하지만 가상일의 원리에서 가상변위는 임의적이므로 0이 될 수 없기 때문에 결국 괄호안의 계수항이 0이 되어야 합니다. 따라서 최종적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

위의 식을 Lagrange equation이라고 하며, 부분적분을 수행하지 않고 효율적으로 운동방정식을 구할 수 있다는 장점이 있습니다. 하지만 Lagrange equation은 Hamilton’s principle을 푼 결과만을 이용하는 방법이기 때문에 Hamilton’s principle보다는 적용의 범위와 작고, 자유도가 떨어진다는 단점이 있습니다.

이상으로 가상일의 원리에 대한 포스팅을 마치도록 하겠습니다. 학부나 대학원 과목에서는 문제풀이와 시험 때문에 그 의미와 발전과정에 대해서는 깊게 배우지 못하는 경우가 많은데, 이번 포스팅을 통해 문제풀이와 시험을 떠나, 가상일의 원리에 대한 본연에 대해 보다 이해할 수 있는 기회가 되면 좋겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

Dr. Limnice

참고문헌: L Meirovitch, Fundamentals of Vibrations, McGraw-Hill, International Ed., 2001.