가상일의 원리(1)

안녕하세요. Dr. Limnice 입니다.

COVID-19 때문에 집에 있는 시간이 많다보니, 시간이 남을 때 학부와 대학원때 들었던 전공과목을 다시 공부해 보고 있습니다. 당시에는 제대로 이해하지 않고 넘겼거나 수업에서 깊게 다루지 않았던 내용들을 보며 그 과목에 대한 이해를 좀더 넓혀 보는 것도 괜찮은 거 같습니다. 얼마전에 ‘가상일의 원리’ 부분에 대해 보았는데, 오늘은 이 부분에 대해 제 나름대로 정리한 바를 공유해 보고자 포스팅을 하게 되었습니다.

정적 및 동적 역학문제를 풀 때 가장 먼저 해야 하는 일은 운동방정식을 세우는 일일 것입니다. 대표적으로는 뉴턴의 법칙을 이용하여 시스템에 대한 Free-body-diagram을 이용하는 방법이 있습니다. Free-body-diagram에 대해서는 중고등학교 및 대학교 일반물리에서 많이 다루었을 것이므로, 자세한 설명을 하지는 않겠습니다. 뉴턴의 법칙을 이용하는 방법은 시스템이 단순할 때는 효과적이나 시스템이 복잡할 (예: 다자유도(multi-degree-of-freedom) 문제) 경우, 시스템의 모든 질점(mass)에 대해 free-body-diagram을 그려야 하며, 해당 역학 문제를 기술하는 좌표계가 변할 경우, 그에 따라 새롭게 기술되어야 하는 번거로움이 있습니다.

이와 같은 문제를 해결하기 위해 Analytical mechanics 또는 Variational approach to mechanics 라는 방법이 고안되고 발전되어 왔습니다. 이는 운동방정식을 각 질점에 대해서가 아니라 전체 시스템에서 운동에너지 (Kinetic energy) 와 위치에너지 (Potential energy)의 두 스칼라 값과, 비보전력 (Nonconservative force)에 의한 가상일로 구성하는 방법이며, 좌표계에 변화에 원활히 대처할 수 있는 장점이 있습니다.

먼저, 이번 포스팅에서는 정적 역학문제에서의 ‘가상일의 원리 (The principle of virtual work)’ 와 이를 동적 역학문제로 확장한 ‘D ’Alembert’s principle’에 대해 다루고자 합니다. 이를 보다 발전시킨 ‘Hamilton’s principle’ 과 ‘Lagrange’s equation’에 대해서는 다음 포스팅 (1~2주 뒤)에서 다루도록 하겠습니다.

1. 가상일의 원리 (The principle of virtual work)

가상일이 원리는 정적 평형상태(Equilibrium)에 있는 시스템에 대한 운동방정식을 기술하기 위해 요한 베르누이 (Johann Bernoulli)에 의해 고안된 방법이며, 유한요소법 (Finite element method) 및 정적 구조해석 문제를 푸는데 활용되고 있습니다. 저도 유한요소법과 구조역학 과목들을 수강하기는 했지만 그 당시에는 그냥 외우고 문제 푸는 데만 집중했었는데, 이번 기회를 통해 그 기본 원리와 의미에 대해 곰곰이 생각을 해 볼 수 있었습니다.

가상일의 원리를 이해하기 위해서는 가상 변위 (Virtual displacement) 와 구속력(Constraint force)에 대한 개념이 필요합니다.

3차원 직교 (x, y, z) 좌표계에서, N개의 질량을 가진 입자들이 있다고 할 때, 각 좌표 방향으로 각 입자의 미소한 움직임 (Infinitesimal changes)을 생각할 수 있고, 이를 가상변위 (Virtual displacement) 라고 정의합니다. 중요한 점은 여기서 가상변위는 임의적 (Arbitrary) 하면서도, 시스템의 구속조건 (Constraint)을 따라야 한다는 것입니다. 예를들면, 어떤 평면 (x-y 평면) 위에 입자들이 놓여 있다고 할 때, 해당 평면 위에서 x, y 방향으로는 임의의 가상변위를 생각할 수 있지만 입자가 평면의 표면 위로 뜨거나 (+z 방향) 표면 밑으로 들어갈 (-z 방향) 수는 없습니다. 또 한가지 가정은, 가상변위는 즉각적(Instantaneous)으로 발생한다는 것인데, 이는 입자가 가상변위만큼 이동하는데 걸리는 시간이 0, 즉 시간의 흐름을 고려하지는 않는다는 것을 의미합니다.

N개의 입자로 구성된 시스템에서 각각의 입자가 입자에 작용하는 합력 (Resultant force, R_i)을 생각할 때, 평형상태의 경우 합력이 0 이며, 다음과 같이 기술이 가능합니다.

여기서 F_i 는 가해진 힘 (Applied force), f_i 는 구속력 (Constraint force) 입니다. 가해진 힘은 중력, 전자기력등을 생각할 수 있으며, 구속력은 앞서 설명한 구속조건에 의해 물체의 운동을 제한하는 힘을 말합니다. 여기서 각 입자의 가상변위를 δr_i 라 하면, 가상변위에 의해 각 입자가 한 일은 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 가상일 (Virtual work) 라 합니다.

모든 입자의 가상일을 합하면 전체 시스템의 가상일을 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

여기서, 구속력에 의한 일 (두번째 항)은 0으로 간주할 수 있습니다. 예를 들면, 아래 그림의 a 와 같이 평면위에 입자가 놓여 있는 경우, 표면이 매끄러운 경우, 구속력이 가상변위 방향과 수직이므로, 구속력에 의한 가상일은 0 입니다. 하지만 b 와 같이 표면이 거친경우, 마찰력에 의해 구속력이 한 일이 0이 아니게 되는데, 이 경우에는 마찰력을 배제 (가해진 힘이 줄었다고 간주) 하여 구속력에 의해 한 일이 0이 되도록 할 수 있습니다.

따라서 최종적으로 전체 시스템의 가상일은 다음과 같이 기술할 수 있으며,

가상일의 원리를 “시스템의 구속력을 고려한 가상 미소변위을 통해 시스템에 가해진 힘이 한 일은 0 이다” 라고 정의할 수 있습니다. 좌표계가 변할 경우, 가상 미소변위를 좌표변환 (Coordinate transformation)을 통해 변환한 후 가상일의 원리를 적용하면 간편하게 변환된 좌표에 대한 시스템의 운동방정식을 얻을 수 있습니다.

2. D ’Alembert’s principle

D ’Alembert’s principle 은 동역학문제를 기술하기 위해 가상일의 원리에 관성력 (Inertia force) 추가적으로 고려하였습니다. 따라서 입자에 작용한 합력은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

정적 문제에서와 마찬가지로 가상변위를 고려하고, 구속력을 배제한 후, 시스템의 모든 입자에 의한 가상일의 합을 구하면 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

여기서, 가해진 힘과 관성력의 합력을 Effective force 라 합니다.

최종적으로 “시스템의 구속력을 고려한 가상 미소변위을 통해 시스템의 Effective force가 한 일은 0 이다” 라고 D ’Alembert’s principle를 정의할 수 있습니다. 또한 가상일의 원리와 동일하게 가상 미소변위의 좌표변환을 통해 변환된 좌표계에 대한 동적 운동방정식을 얻을 수 있습니다.

D ’Alembert’s principle 은 다자유도 동적 시스템의 운동방정식을 구할 때 매우 유용하게 활용되고 있습니다. 다름 포스팅에서는 D ’Alembert’s principle을 보다 일반화한 Hamilton’s principle과 이를 보다 효율적으로 개선한 Lagrange’s equation에 대해 정리하고, 이들의 장단점에 대해 이야기 해 보도록 하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

Dr. Limnice

참고문헌

L Meirovitch, Fundamentals of Vibrations, McGraw-Hill, International Ed., 2001.