가상일의 원리(2)

안녕하세요. Dr. Limnice 입니다.

지난 포스팅에 이어 오늘은 D ’Alembert’s principle을 보다 일반화한 Hamilton’s principle과 이를 보다 효율적으로 개선한 Lagrange’s equation에 대해 이야기 해 보도록 하겠습니다.

3. Hamilton’s principle

Hamilton’s principle 은 D ’Alembert’s principle을 일반화한 것으로 가장 가상일의 원리를 기반으로 한 방법들 중 가장 유용한 방법으로 알려져 있습니다. 우선, 지난 포스팅의 D ’Alembert’s principle를 다시 쓰면,

먼저, 첫번째 항은 가해진 힘에 의한 가상일이며, 전체 시스템의 가상일은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서, 두번째 항에 대해 다음과 같은 관계를 생각해 볼 수 있습니다.

여기서 T_i 는 입자 m_i 의 운동에너지 입니다. 위의 식을 D ’Alembert’s principle의 두번째 항에 대해 정리한 다음, 시간 t₁ 에서 t₂ 까지의 적분을 고려하면 다음과 같습니다.

여기서 중요한 것은 앞서 가상일의 원리에서 가상변위 (Virtual displacement)는 임의적 (Arbitrary)이므로 δr_i 가 시간 t₁ 와 t₂ 에서 모두 0이라 해도 무방합니다. 따라서 위의 식을 좀더 정리하고, 고려중인 시스템의 모든 입자들의 가상일을 합하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서, T 는 시스템 전체의 운동에너지 입니다. 마지막으로 위의 식을 가장 첫번째 식 (D ’Alembert’s principle)과 두번째 식(가해진 힘에 의한 가상일)에 합하고, 시간 t₁ 에서 t₂ 까지 적분을 고려하면, 최종적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 식은 Hamilton’s principle을 수학적으로 표현한 것이며, 해당 식은 모든 운동방정식에 적용이 가능합니다.

가상일의 원리를 적용할 때, 가상일을 보존력(Conservative force)과 비보존력(Nonconservative force)에 의한 일로 나누어 고려를 하는 것이 편리한 경우가 많습니다. 여기서, 보존력은 “어떤 힘이 작용하여 물체가 이동할 때 힘이 한 일이 물체의 이동경로와 관계가 없는” 경우이며 대표적인 예로는 중력이 있습니다. 중력이 한 일은 지면에서 물체의 높이와 관계만 있고, 물체가 그 높이까지 어떤 경로로 이동하는지는 관계가 없습니다. 비보존력은 “어떤 힘이 한 일이 물체의 이동경로와 관계가 있는” 경우이며 대표적으로 마찰력이 있습니다. 평면위에 놓어있는 물체를 같은 평면위의 A 지점에서 B 지점까지 끌고갈 때, 물체가 끌리는 동안 마찰력은 계속 작용하므로 이동거리가 길어질수록 마찰력에 의해 한 일은 커지게 됩니다.

따라서 가해진 힘에 의한 가상일을 보존력과 비보존력으로 나누면 다음과 같습니다.

여기서 아래첨자 'c '는 보존력, 'nc '는 비보존력을 나타냅니다. 또한 보존력이 한 일은 포텐셜에너지 (Potential energy) 로 정의할 수 있으며, V 로 표현되었습니다. 위 식을 Hamilton’s principle의 수식에 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

따라서 모든 운동방정식을 운동에너지 (Kinetic energy), 포텐셜에너지 (Potential energy), 그리고 비보존력에 의한 가상일 (Virtual work due to nonconservative forces)를 구하는 과정을 통해 얻을 수 있게 됩니다.

4. Lagrange’s equation

Hamilton’s principle이 운동방정식을 구하는데 매우 강력한 방법이기는 하지만, 운동방정식을 구하기 위해 적분 (엄밀하게는 부분적분)을 수행해야 하기 때문에 가장 효율적인 방법이라고 이야기 하기에는 힘든 면이 있습니다. 이러한 불편함을 해소하기 위해 Lagrange equation이 고안되었는데 간단히 말해 사실 이것은 일반화된 좌표계에 대해 Hamilton’s principle을 푼 결과를 바로 이용하는 방법으로 이해하면 좋을 거 같습니다. 좀더 자세히 이야기하자면 먼저, 일반화된 좌표계(q_k)에서 가상변위(δq_k)에 의한 전체 시스템의 운동에너지, 포텐셜 에너지, 비보존력이 한 일은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 식들을 Hamilton’s principle에 넣으면 다음과 같습니다.

두 번째 항에 대해 부분적분을 구하면 다음과 같으며 (Hamilton’s principle 에서는 이와 같은 부분적분을 매번 계산해 주어야 하기 때문에 효율적이지 못하다는 이야기),

다음과 같이 정리가 가능합니다.

여기서, 좌변의 식을 만족하기 위해서는 가상변위(δq_k) 또는 그 앞의 괄호안의 계수항이 0이 되어야 합니다. 하지만 가상일의 원리에서 가상변위는 임의적이므로 0이 될 수 없기 때문에 결국 괄호안의 계수항이 0이 되어야 합니다. 따라서 최종적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

위의 식을 Lagrange equation이라고 하며, 부분적분을 수행하지 않고 효율적으로 운동방정식을 구할 수 있다는 장점이 있습니다. 하지만 Lagrange equation은 Hamilton’s principle을 푼 결과만을 이용하는 방법이기 때문에 Hamilton’s principle보다는 적용의 범위와 작고, 자유도가 떨어진다는 단점이 있습니다.

이상으로 가상일의 원리에 대한 포스팅을 마치도록 하겠습니다. 학부나 대학원 과목에서는 문제풀이와 시험 때문에 그 의미와 발전과정에 대해서는 깊게 배우지 못하는 경우가 많은데, 이번 포스팅을 통해 문제풀이와 시험을 떠나, 가상일의 원리에 대한 본연에 대해 보다 이해할 수 있는 기회가 되면 좋겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

Dr. Limnice

참고문헌: L Meirovitch, Fundamentals of Vibrations, McGraw-Hill, International Ed., 2001.

가상일의 원리(1)

안녕하세요. Dr. Limnice 입니다.

COVID-19 때문에 집에 있는 시간이 많다보니, 시간이 남을 때 학부와 대학원때 들었던 전공과목을 다시 공부해 보고 있습니다. 당시에는 제대로 이해하지 않고 넘겼거나 수업에서 깊게 다루지 않았던 내용들을 보며 그 과목에 대한 이해를 좀더 넓혀 보는 것도 괜찮은 거 같습니다. 얼마전에 ‘가상일의 원리’ 부분에 대해 보았는데, 오늘은 이 부분에 대해 제 나름대로 정리한 바를 공유해 보고자 포스팅을 하게 되었습니다.

정적 및 동적 역학문제를 풀 때 가장 먼저 해야 하는 일은 운동방정식을 세우는 일일 것입니다. 대표적으로는 뉴턴의 법칙을 이용하여 시스템에 대한 Free-body-diagram을 이용하는 방법이 있습니다. Free-body-diagram에 대해서는 중고등학교 및 대학교 일반물리에서 많이 다루었을 것이므로, 자세한 설명을 하지는 않겠습니다. 뉴턴의 법칙을 이용하는 방법은 시스템이 단순할 때는 효과적이나 시스템이 복잡할 (예: 다자유도(multi-degree-of-freedom) 문제) 경우, 시스템의 모든 질점(mass)에 대해 free-body-diagram을 그려야 하며, 해당 역학 문제를 기술하는 좌표계가 변할 경우, 그에 따라 새롭게 기술되어야 하는 번거로움이 있습니다.

이와 같은 문제를 해결하기 위해 Analytical mechanics 또는 Variational approach to mechanics 라는 방법이 고안되고 발전되어 왔습니다. 이는 운동방정식을 각 질점에 대해서가 아니라 전체 시스템에서 운동에너지 (Kinetic energy) 와 위치에너지 (Potential energy)의 두 스칼라 값과, 비보전력 (Nonconservative force)에 의한 가상일로 구성하는 방법이며, 좌표계에 변화에 원활히 대처할 수 있는 장점이 있습니다.

먼저, 이번 포스팅에서는 정적 역학문제에서의 ‘가상일의 원리 (The principle of virtual work)’ 와 이를 동적 역학문제로 확장한 ‘D ’Alembert’s principle’에 대해 다루고자 합니다. 이를 보다 발전시킨 ‘Hamilton’s principle’ 과 ‘Lagrange’s equation’에 대해서는 다음 포스팅 (1~2주 뒤)에서 다루도록 하겠습니다.

1. 가상일의 원리 (The principle of virtual work)

가상일이 원리는 정적 평형상태(Equilibrium)에 있는 시스템에 대한 운동방정식을 기술하기 위해 요한 베르누이 (Johann Bernoulli)에 의해 고안된 방법이며, 유한요소법 (Finite element method) 및 정적 구조해석 문제를 푸는데 활용되고 있습니다. 저도 유한요소법과 구조역학 과목들을 수강하기는 했지만 그 당시에는 그냥 외우고 문제 푸는 데만 집중했었는데, 이번 기회를 통해 그 기본 원리와 의미에 대해 곰곰이 생각을 해 볼 수 있었습니다.

가상일의 원리를 이해하기 위해서는 가상 변위 (Virtual displacement) 와 구속력(Constraint force)에 대한 개념이 필요합니다.

3차원 직교 (x, y, z) 좌표계에서, N개의 질량을 가진 입자들이 있다고 할 때, 각 좌표 방향으로 각 입자의 미소한 움직임 (Infinitesimal changes)을 생각할 수 있고, 이를 가상변위 (Virtual displacement) 라고 정의합니다. 중요한 점은 여기서 가상변위는 임의적 (Arbitrary) 하면서도, 시스템의 구속조건 (Constraint)을 따라야 한다는 것입니다. 예를들면, 어떤 평면 (x-y 평면) 위에 입자들이 놓여 있다고 할 때, 해당 평면 위에서 x, y 방향으로는 임의의 가상변위를 생각할 수 있지만 입자가 평면의 표면 위로 뜨거나 (+z 방향) 표면 밑으로 들어갈 (-z 방향) 수는 없습니다. 또 한가지 가정은, 가상변위는 즉각적(Instantaneous)으로 발생한다는 것인데, 이는 입자가 가상변위만큼 이동하는데 걸리는 시간이 0, 즉 시간의 흐름을 고려하지는 않는다는 것을 의미합니다.

N개의 입자로 구성된 시스템에서 각각의 입자가 입자에 작용하는 합력 (Resultant force, R_i)을 생각할 때, 평형상태의 경우 합력이 0 이며, 다음과 같이 기술이 가능합니다.

여기서 F_i 는 가해진 힘 (Applied force), f_i 는 구속력 (Constraint force) 입니다. 가해진 힘은 중력, 전자기력등을 생각할 수 있으며, 구속력은 앞서 설명한 구속조건에 의해 물체의 운동을 제한하는 힘을 말합니다. 여기서 각 입자의 가상변위를 δr_i 라 하면, 가상변위에 의해 각 입자가 한 일은 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 가상일 (Virtual work) 라 합니다.

모든 입자의 가상일을 합하면 전체 시스템의 가상일을 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

여기서, 구속력에 의한 일 (두번째 항)은 0으로 간주할 수 있습니다. 예를 들면, 아래 그림의 a 와 같이 평면위에 입자가 놓여 있는 경우, 표면이 매끄러운 경우, 구속력이 가상변위 방향과 수직이므로, 구속력에 의한 가상일은 0 입니다. 하지만 b 와 같이 표면이 거친경우, 마찰력에 의해 구속력이 한 일이 0이 아니게 되는데, 이 경우에는 마찰력을 배제 (가해진 힘이 줄었다고 간주) 하여 구속력에 의해 한 일이 0이 되도록 할 수 있습니다.

따라서 최종적으로 전체 시스템의 가상일은 다음과 같이 기술할 수 있으며,

가상일의 원리를 “시스템의 구속력을 고려한 가상 미소변위을 통해 시스템에 가해진 힘이 한 일은 0 이다” 라고 정의할 수 있습니다. 좌표계가 변할 경우, 가상 미소변위를 좌표변환 (Coordinate transformation)을 통해 변환한 후 가상일의 원리를 적용하면 간편하게 변환된 좌표에 대한 시스템의 운동방정식을 얻을 수 있습니다.

2. D ’Alembert’s principle

D ’Alembert’s principle 은 동역학문제를 기술하기 위해 가상일의 원리에 관성력 (Inertia force) 추가적으로 고려하였습니다. 따라서 입자에 작용한 합력은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

정적 문제에서와 마찬가지로 가상변위를 고려하고, 구속력을 배제한 후, 시스템의 모든 입자에 의한 가상일의 합을 구하면 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

여기서, 가해진 힘과 관성력의 합력을 Effective force 라 합니다.

최종적으로 “시스템의 구속력을 고려한 가상 미소변위을 통해 시스템의 Effective force가 한 일은 0 이다” 라고 D ’Alembert’s principle를 정의할 수 있습니다. 또한 가상일의 원리와 동일하게 가상 미소변위의 좌표변환을 통해 변환된 좌표계에 대한 동적 운동방정식을 얻을 수 있습니다.

D ’Alembert’s principle 은 다자유도 동적 시스템의 운동방정식을 구할 때 매우 유용하게 활용되고 있습니다. 다름 포스팅에서는 D ’Alembert’s principle을 보다 일반화한 Hamilton’s principle과 이를 보다 효율적으로 개선한 Lagrange’s equation에 대해 정리하고, 이들의 장단점에 대해 이야기 해 보도록 하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

Dr. Limnice

참고문헌

L Meirovitch, Fundamentals of Vibrations, McGraw-Hill, International Ed., 2001.

Coda Wave Interferometry (CWI)

안녕하세요. Dr. Limnice 입니다.

블로그를 만들고 포스팅 내용에 대해 고민을 한 결과, 우선은 제가 연구 및 공부하는 것들 중에 공유할만한 내용들에 대해 이해하기 쉽게 정리를 해서 포스팅 하는 것이 좋을 거 같습니다.

해당 주제들에 대해 연구해서 얻은 결과에 대해서는 학술논문으로 출판되었거나 출판될 것이기 때문에 제 프로필에 제 Google Scholar 를 홈페이지로 해 두었으니 Google Scholar 를 통해 논문을 찾으실 수 있습니다.

첫번째 포스팅으로, 오늘은 Coda Wave Interferometry(CWI)에 대해 이야기 해 보고자 합니다. 제가 한동안 연구한 내용중 하나이고 현재 논문도 작성중에 있어 첫번째 포스팅으로는 좋은 주제가 될 거 같습니다.

간단히 말해 CWI는 탄성파(Elastic waves) 또는 초음파(Ultrasonic waves) 가 매질을 통해 전파되면서 매질 내부의 미소균열(Micro cracks), 공극(Void) 및 비균질성(Heterogeneous) 등의 수많은 산란원(Scatterers)에 의해 시간영역에서 파 신호의 앞부분(First arrival)보다 뒷부분의 변화(주로 Phase shift) 가 더 크며 이를 분석하여 매질의 미소변화 및 손상을 진단하는 비파괴 검사기법 중 하나입니다 (그림 1).

그림 1. Coda wave interferometry 개념[1]. 왼쪽 그림에서 빈 원들은 변화 전 산란원, 채워진 원들은 변화 후 산란원.

파가 가진원(그림 1 왼쪽에서 *)에서 출발하여 센서 (그림 1 왼쪽에서 ▲)까지 도달할 때 파 신호의 앞부분은 가진원에서 센서까지 바로 도달한 신호이고, 뒷부분은 매질의 경계에서 반사되어 보다 긴 시간동안 매질에서 전파되기 때문에 그 시간동안 매질의 미소변화에 의한 영향이 더욱 누적되어 신호의 변화가 크기 때문에 이를 이용하자는 것이 주 아이디어입니다.

CWI가 먼저 사용된 분야는 지구물리학(Geophysics)입니다[1]. 지구물리학에서 지진파(Seismic wave) 를 이용해서 지구 내부를 구성하는 물질에 대한 연구를 진행하고 있습니다. 지진파 분석을 통해 지구 내부 구조의 시간에 따른 변화들을 보다 정밀히 관측하고 분석하기 위해 CWI가 사용되고 있습니다.

그 이후에는 콘크리트 및 복합재료와 같이 비등방(Anisotropic) 및 비균질성(Heterogeneous) 재료들로 만들어진 구조물들의 손상 및 구조물에 가해진 하중을 계측하기 위한 용도로도 사용되고 있습니다 [2-5]. 구조물의 손상에 의해서는 산란원의 수와 크기가 증가하고, 하중에 대해서는 산란원들의 위치와 크기가 변화해서 Coda wave 에 영향을 준다고 이해하면 좋을 거 같습니다.

CWI의 신호처리 방법에는 크게 Doublet method 와 Stretching method 가 있습니다[3].

Doublet method는 기준신호(Reference, 재료에 손상 및 하중이 가해지지 않았을 때 측정된 신호)와 검사신호간의 교차상관관계 (Cross-correlation, CC)를 이용하는 방법입니다. Coda wave 영역에서 특정한 시간(time window)에서 CC 계산을 하면 두 신호가 서로 얼마나 유사한지, 두 신호가 얼마나 shift 되어 있는지를 알 수 있으며 이를 이용하여 손상의 정도 및 가해진 하중을 정량적으로 추정할 수 있습니다.

Stretch method는 Coda wave의 Shift 가 시간 영역에서 기준 신호(s0[t])를 𝛼 만큼 ‘늘어뜨린(Stretching)’ 한 것(s0[t(1+𝛼)])으로 가정하고, 검사신호(st[t])가 기준 신호를 얼만큼 늘어뜨렸을 때 서로 가장 유사한가를 구하는 방법입니다 (해당 가정은 재료에 하중 및 온도변화가 가해졌을 때 탄성파 및 초음파의 신호변화를 모델링 하는 것과 동일합니다. 특히, 하중에 대한 탄성파 및 초음파의 변화를 음향탄성효과 (Acoustoelastic effect)라 하는데, 이것에 대해서는 추후에 기회가 되면 포스팅을 하도록 하겠습니다.)

Stretching method 를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

st[t] = s0[t(1+𝛼)] + d[t]

여기서 d[t]는 왜곡성분(Distortion component) 로 신호잡음 뿐만 아니라 재료의 손상 및 상변화에 대한 정보를 담고 있는 것으로 추정되기는 하나, 일반적으로는 무시되고 있습니다. 저도 Stretching method에 대해서는 글만 읽었을 때 이해를 하는데 꽤 오랜 시간이 걸렸던 관계로 이해를 돕기 위해 그림을 그리면 다음과 같습니다(그림 2).

그림2. Stretching method 개념도

그림2 왼쪽을 보면, 처음에는 Coda wave에서 기준신호와 검사신호간의 shift 를 볼 수 있습니다. 하지만 기준 신호를 ‘적당히’ 𝛼 만큼 늘리면 그림 2의 오른쪽과 같이 두 신호를 거의 동일하게 맟출 수 있습니다. Doublet method 와 마찬가지로 𝛼 값과 늘린 후 두 신호의 유사성을 정량적으로 평가해서 손상진단 및 하중추정에 사용합니다.

Stretching method는 Doublet method에 비해 보다 큰 Time-window 를 사용할 수 있어 분석의 신뢰성이 보다 높다는 장점이 있으나, 𝛼 값 추정을 위해 신호를 늘리고 각각의 늘린 신호에 대해 CC 값을 구해야 하기 때문에 계산시간이 길다는 단점이 있습니다.

오늘은 CWI에 대해 정리를 해 보았습니다. 관련 분야에 대해 잘 모르시는 분들의 이해를 돕고자 수식은 최대한 빼고 글과 그림으로 설명해 보고자 노력해 보았습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

Dr. Limnice

참고문헌

[1] R Snieder et al., “Coda wave interferometry for estimating nonlinear behavior in seismic velocity,” Science, 2002.

[2] D P Schurr et al., “Damage detection in concrete using coda wave interferometry,” NDT&E International, 2011.

[3] T Planès and E Larose, “A review of ultrasonic coda wave interferometry in concrete,” Cement and Concrete Research, 2013.

[4] A Hafiz and T Schumacher, “Monitoring of stresses in concrete using ultrasonic coda wave comparison technique,” Journal of Nondestructive Evaluation, 2018.

[5] P Pomarède et al., “Application of ultrasonic coda wave interferometry for micro-cracks monitoring in woven fabric composites,” Journal of Nondestructive Evaluation, 2019.